Question

5．已知z为复数，z+2i和$\frac{z}{2+i}$均为实数（其中i是虚数单位）．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+mi）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出复数z，化简$\frac{z}{2+i}$，利用实数，虚部为0，即可求出复数z．
（2）化简复数，求出对应点的坐标，利用已知条件求解即可．

解答 解：（1）z为复数，z+2i和$\frac{z}{2+i}$均为实数，
可设：z=a-2i．
$\frac{z}{2+i}$=$\frac{a-2i}{2+i}$=$\frac{（a-2i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}$=$\frac{2a-2+（-4-a）i}{5}$，
$\frac{z}{2+i}$为实数，可得-4-a=0，解得a=-4，
复数z=-4-2i．
（2）复数（z+mi）²=（-4-2i+mi）²=16-（m-2）²-8（m-2）i，复平面上对应的点在第一象限，
可得：$\left\{\begin{array}{l}16-{（m-2）}^{2}＞0\\-8（m-2）＞0\end{array}\right.$，解得-6＜m＜2．

点评 本题考查复数的几何意义，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．