Question

16．已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．
（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点P（-2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4，建立方程，即可求动圆圆心Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线的方程为x=ny+m，代入y²=4x，利用韦达定理，结合k_PA+k_PB=2k_PG，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设Q（x，y），根据题意得$\sqrt{|x{|}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，…（2分）
整理得y²=4x，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）设存在符合题意的定点G．
设直线的方程为x=ny+m（n≠0且n∈R），则G（m，0）．…（5分）
将x=m+ny代入y²=4x，整理得y²-4ny-4m=0．
由题意得△=16n²+16m＞0，即n²+m＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4m，
${k_{PA}}=\frac{{{y_1}-1}}{{{x_{_1}}+2}}=\frac{{{y_1}-1}}{{\frac{{{y_1}^2}}{4}+2}}=\frac{{4（{y_1}-1）}}{{{y_1}^2+8}}$，${k_{PB}}=\frac{{4（{y_2}-1）}}{{{y_2}^2+8}}$，${k_{PG}}=\frac{1}{-2-m}=-\frac{1}{m+2}$，
由题意得k_PA+k_PB=2k_PG，即k_PA+k_PB-2k_PG=0，
所以$\frac{{2（{y_1}-1）}}{{{y_1}^2+8}}+\frac{{2（{y_2}-1）}}{{{y_2}^2+8}}+\frac{1}{m+2}=0$，…（7分）
即$2（m+2）{y_1}{y_2}（{y_1}+{y_2}）+16（m+2）（{y_1}+{y_2}）+2[{（{y_1}+{y_2}）^2}-2{y_1}{y_2}]（2-m）+{（{y_1}{y_2}）^2}-32m=0$…（9分）
把y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4m代入上式，
整理得（m-2）n=（m+2）（2-m），…（11分）
又因为n∈R，所以$\left\{\begin{array}{l}（m+2）（2-m）=0\\ m-2=0\end{array}\right.$，解得m=2．
所以存在符合题意的定点G，且点G的坐标为（2，0）．…（13分）

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．