Question

15．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦点到直线y=x+$\sqrt{6}$的距离为2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知点M（2，1），斜率为$\frac{1}{2}$的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂．
①若直线l过椭圆的左顶点，求k₁，k₂的值；
②试猜测k₁，k₂的关系，并给出你的证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的右焦点（c，0），由右焦点到直线y=x$+\sqrt{6}$的距离为2$\sqrt{3}$，可得$\frac{|c+\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}$，解得c．又由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合a²=b²+c²，解出a，b即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是l：y=$\frac{1}{2}$x+$\sqrt{2}$，联立方程组解得A，B坐标，再利用斜率计算公式即可得出k₁，k₂的值；
②设直线在y轴上的截距为b，直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+b．与椭圆方程联立可得x²+2bx+2b²-4=0．利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出答案．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点（c，0），
由右焦点到直线y=x+$\sqrt{6}$的距离为$2\sqrt{3}$，∴$\frac{|c+\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}$，解得c=$\sqrt{6}$，
又由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得a²=8，代入b²=a²-c²，得b²=2，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ） ①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是l：y=$\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2\sqrt{2}}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
故${k}_{1}=-\frac{\sqrt{2}-1}{2}，{k}_{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
②由①猜测k₁+k₂=0．
事实上，设在y轴上的截距为b，∴直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+b．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得x²+2bx+2b²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂═-2b，x₁x₂=2b²-4．
又${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}，{k}_{2}=\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
故k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$．
又${y}_{1}=\frac{1}{2}{x}_{1}+b，{y}_{2}=\frac{1}{2}{x}_{2}+b$，
∴（y₁-1）（x₂-2）+（y₂-1）（x₁-2）=$（\frac{1}{2}{x}_{1}+b-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+b-1）（{x}_{1}-2）$
=x₁x₂+（b-2）（x₁+x₂）-4（b-1）=2b²-4+（b-2）（-2b）-4（b-1）=0．
故k₁+k₂=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．