Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx（x＞0）}\\{a（x+1）（x≤0）}\end{array}\right.$（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求证：若a≠1，则函数f（x）图象上有且只有两对关于原点对称的点．

Answer 1

分析 （1）求出y=xlnx的导数，求得单调区间，讨论a＜0，a＞0，y=a（x+1）的单调性，即可得到所求单调区间；
（2）f（x）图象上关于原点O对称的点的对数即是求xlnx=a（x-1）的解的个数，讨论相切的情况，即可得证．

解答 （1）解：x＞0时，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，
∴当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0，当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），f′（x）＞0，
x≤0时，f（x）=a（x+1），a＞0时，函数单调递增，a＜0，函数单调递减，
∴a＞0时，函数在（-∞，0），（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减；
a＜0，函数在（-∞，0）上单调递增，在（0，$\frac{1}{e}$），（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递减；
（2）证明，f（x）图象上存在关于原点O对称的点，
由y=a（x+1），x＜0关于原点对称的函数为y=-a（-x+1）即为y=a（x-1），
即求xlnx=a（x-1）的解的个数，
显然x=1是方程的解，
又y=xlnx的导数为y′=1+lnx，
当直线y=a（x-1）和y=xlnx相切时，
设切点为M（m，mlnm），则a=1+lnm，
且a（m-1）=mlnm，解得m=1，a=1，
即有a=1时，方程xlnx=a（x-1）只有一解．
当0＜a＜1时，方程xlnx=a（x-1）还有一个解介于（0，1），
a＜0的情况不成立．
则若0＜a＜1，则函数f（x）图象上有且只有两对关于原点对称的点．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用，同时考查函数的对称性，考查运算能力，属于中档题．