Question

3．已知直线l：y=x+2与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，|BF|•|DF|=17，试判断△ABD是否为直角三角形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线y=x+2和双曲线联立方程，利用中点公式，求出双曲线离心率．
（2）利用（1）问关系列出|BF|、|DF|的关系式，进而解出a的值，然后利用圆的直径所对的圆周角为直角得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，
化入C的方程，并化简，得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，
设B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{4{a}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$①
由M（1，3）为BD的中点知$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1$，
故$\frac{1}{2}×\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}=1$，即b²=3a²，②
故$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=2a$，所以C的离心率$e=\frac{c}{a}=2$．
（Ⅱ）由①、②知，C的方程为：3x²-y²=3a²，
A（a，0），F（2a，0），x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{4+3{a}^{2}}{2}＜0$，
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a，
$|BF|=\sqrt{（{x}_{1}-2a）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-2a）^{2}+3{x}_{1}^{2}-3{a}^{2}}$=a-2x₁，
$|FD|=\sqrt{（{x}_{2}-2a）^{2}+{y}_{2}^{2}=}$$\sqrt{（{x}_{2}-2a）^{2}+3{x}_{2}^{2}-3{a}^{2}}$=2x₂-a，
|BF|•|FD|=（a-2x₁）（2x₂-a）=-4x₁x₂+2a（x₁+x₂）-a²=5a²+4a+8，
又|BF|•|FD|=17，
故5a²+4a+8=17，解得a=1或a=$-\frac{9}{5}$（舍去），
故|BD|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{4+4×\frac{7}{2}}$=6，
连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，
且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．∴△ABD为直角三角形．

点评 本题主要考查双曲线的离心率的求解和直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，高考中历年常考．属高考压轴大题．