Question

6．△ABC中，A（1，2），B（4，1），C（3，4），直线PQ平行于BC分别交AB、AC于P、Q两点且三角形APQ与四边形BCQP的面积的比为4：5，求P、Q坐标．

Answer 1

分析 由已知得到两三角形面积的关系，由直线PQ平行于BC，可设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AC}$，由两三角形的面积比求得λ值，再由向量相等求得P，Q的坐标．

解答 解：如图，
∵S_△APQ：S_{四边形BCQP}=4：5，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9，
∵直线PQ平行于BC，不妨设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$（λ＞0），则$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AC}$．
∴$|\overrightarrow{AP}|=λ|\overrightarrow{AB}|，|\overrightarrow{AQ}|=λ|\overrightarrow{AC}|$，
则$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{AQ}|sin∠BAC}{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|sin∠BAC}=\frac{4}{9}$，
即${λ}^{2}=\frac{4}{9}$，∴$λ=\frac{2}{3}$．
∵A（1，2），B（4，1），C（3，4），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$（{x}_{1}-1，{y}_{1}-2）=\frac{2}{3}（4-1，1-2）$，解得${x}_{1}=3，{y}_{1}=\frac{4}{3}$．
$（{x}_{2}-1，{y}_{2}-2）=\frac{2}{3}（3-1，4-2）$，解得${x}_{2}=\frac{7}{3}，{y}_{2}=\frac{10}{3}$．
∴P（$3，\frac{4}{3}$），Q（$\frac{7}{3}，\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查了两平行线的距离，考查了平面向量在解题中的应用，是基础的计算题．