Question

6．设等差数列{a_n}满足$\frac{si{n}^{2}{a}_{4}-co{s}^{2}{a}_{4}+co{s}^{2}{a}_{4}co{s}^{2}{a}_{8}-si{n}^{2}{a}_{4}si{n}^{2}{a}_{8}}{sin（{a}_{5}+{a}_{7}）}$=1，公差d∈（-1，0），若当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，则首项a₁的取值范围是（　　）

• A． （π，$\frac{9π}{8}$）
• B． [π，$\frac{9π}{8}$]
• C． [$\frac{7π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]
• D． （$\frac{7π}{6}$，$\frac{4π}{3}$）

Answer 1

分析 利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a₁取值范围．

解答 解：∵$\frac{si{n}^{2}{a}_{4}-co{s}^{2}{a}_{4}+co{s}^{2}{a}_{4}co{s}^{2}{a}_{8}-si{n}^{2}{a}_{4}si{n}^{2}{a}_{8}}{sin（{a}_{5}+{a}_{7}）}$
=$\frac{-cos2{a}_{4}+（cos{a}_{4}cos{a}_{8}-sin{a}_{4}sin{a}_{8}）（cos{a}_{4}cos{a}_{8}+sin{a}_{4}sin{a}_{8}）}{sin（{a}_{5}+{a}_{7}）}$
=$\frac{-cos2{a}_{4}+cos（{a}_{4}+{a}_{8}）cos（{a}_{4}-{a}_{8}）}{sin（{a}_{5}+{a}_{7}）}$
=$\frac{\frac{1}{2}cos2{a}_{4}+\frac{1}{2}cos2{a}_{8}-cos2{a}_{4}}{sin（{a}_{5}+{a}_{7}）}$
=$\frac{\frac{1}{2}（cos2{a}_{8}-cos2{a}_{4}）}{sin（{a}_{5}+{a}_{7}）}$
=$\frac{\frac{1}{2}×（-2）sin（{a}_{8}+{a}_{4}）sin（{a}_{8}-{a}_{4}）}{sin（{a}_{5}+{a}_{7}）}$
=-$\frac{sin（{a}_{8}+{a}_{4}）sin（{a}_{8}-{a}_{4}）}{sin（{a}_{4}+{a}_{8}）}$
=-sin（4d），
∴sin（4d）=-1，
∵d∈（-1，0），∴4d∈（-4，0），
∴4d=-$\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{8}$，
∵S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}•d$=$n{•a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}•（-\frac{π}{8}）$=-$\frac{π}{16}{n}^{2}$+$（{a}_{1}+\frac{π}{16}）n$，
∴其对称轴方程为：n=$\frac{8}{π}$$（{a}_{1}+\frac{π}{16}）$，
有题意可知当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，
∴$\frac{17}{2}$＜$\frac{8}{π}$$（{a}_{1}+\frac{π}{16}）$＜$\frac{19}{2}$，解得π＜a₁＜$\frac{9}{8}π$，
故选：A．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查三角函数的有关公式，考查等差数列的前n项和，训练二次函数取得最值得条件，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．