Question

13．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点（0，-2），且离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，ABD是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，求动点N（m，k）轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得b和$\frac{c}{a}$，结合隐含条件a²=b²+c²求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意求出A，B，D的坐标，得到直线AD的方程，再设出直线BP方程，联立两直线方程求得P的坐标，联立直线BP的方程与椭圆方程求得M的坐标，再由M，D，Q三点共线求得Q的坐标，代入两点求斜率公式得到直线PQ的斜率，整理后即可得到关于k，m的等式，则可求得点N（m，k）的轨迹方程．

解答 解：（1）依题意，b=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，又a²=b²+c²，
∴5a²=9c²=9（a²-b²）=9a²-36，即a²=9．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由（1）知，A（-3，0），B（3，0），D（0，2），
∴直线AD的方程为y=$\frac{2}{3}$x+2，
由题意，直线BP的方程为y=k（x-3），k≠0且k$≠±\frac{2}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+2}\\{y=k（x-3）}\end{array}\right.$，解得P（$\frac{9k+6}{3k-2}$，$\frac{12k}{3k-2}$），
设M（x₁，y₁），则由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
消去y整理得（9k²+4）x²-54k²x+81k²-36=0．
∴3x₁=$\frac{81{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，即x₁=$\frac{27{k}^{2}-12}{4+9{k}^{2}}$，
即M（$\frac{27{k}^{2}-12}{4+9{k}^{2}}$，-$\frac{24k}{4+9{k}^{2}}$），
设Q（x₂，0），则由M，D，Q三点共线得：k_DM=k_DQ，
即$\frac{\frac{-24k}{4+9{k}^{2}}-2}{\frac{27{k}^{2}-12}{4+9{k}^{2}}}$=$\frac{-2}{{x}_{2}}$，∴x₂=$\frac{9k-6}{3k+2}$，则Q（$\frac{9k-6}{3k+2}$，0），
∴PQ的斜率m=$\frac{\frac{12k}{3k-2}-0}{\frac{9k+6}{3k-2}-\frac{9k-6}{3k+2}}$=$\frac{3k+2}{6}$．
∴3k+2=6m，即点N（m，k）的轨迹方程为6x-3y-2=0．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线和圆锥曲线位置关系的应用，（2）的求解着重体现了“设而不求”和整体运算思想方法，属中档题．