Question

2．已知函数f（x）=lnx-a（x-1），其中a＞0．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；
（2）讨论并求出函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求f（x）的导数，讨论导数的正负，可得f（x）的单调区间，利用函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，即可求a的值；
（2）分类讨论，利用函数的单调性，结合函数的定义域，求出函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

解答 解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），
求导数，得f′（x）=$\frac{1-ax}{x}$
当0＜x＜$\frac{1}{a}$时，f′（x）＞0；当x＞$\frac{1}{a}$时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{a}$），f（x）的单调减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）
因此，f（x）的极大值为f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1+a
∵-lna-1+a=0
∴a=1；
（2）由（1）知，f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{a}$），f（x）的单调减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞），
∴e＜$\frac{1}{a}$，即0＜a＜$\frac{1}{e}$，函数在区间[$\frac{1}{e}$，e]上单调递增，∴x=e时，f（x）_max=lne-a（e-1）；
$\frac{1}{e}$≤$\frac{1}{a}$≤e，即$\frac{1}{e}$≤a≤e，函数在区间[$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{a}$]上单调递增，在[$\frac{1}{a}$，e]上单调递减，
∴x=$\frac{1}{a}$时，f（x）_max=-lna-1+a；
e＞$\frac{1}{a}$，即a＞$\frac{1}{e}$，函数在区间[$\frac{1}{e}$，e]上单调递减，∴x=$\frac{1}{e}$时，f（x）_max=-1-a（$\frac{1}{e}$-1）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极大值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．