Question

17．已知定长为3的线段AB的端点在抛物线y²=2x上移动，M为AB的中点，求M到y轴的最短距离．

Answer 1

分析 先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出$\frac{|AF|+|BF|}{2}$的最小值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由抛物线方程y²=2x，得抛物线准线x=-$\frac{1}{2}$，
∴所求的距离为：
d=|$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$|=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{{x}_{1}+\frac{1}{2}+{x}_{2}+\frac{1}{2}}{2}-\frac{1}{2}$
=$\frac{|AF|+|BF|}{2}$$-\frac{1}{2}$≥$\frac{|AB|}{2}-\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$=1．

点评 本题主要考查抛物线的简单性质、利用不等式求最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．