Question

8．如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，线段AB与线段DC的延长线交于点E，$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{3}$．
（1）若BC=1，求BE的长度；
（2）若AC为∠DAB的角平分线，记BE=λDC（λ∈R），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）运用圆的内接四边形的性质和三角形相似的判定和性质，即可求得BE=3；
（2）运用三角形的内角平分线定理和圆的切割线定理，结合条件，即可得到λ的值为3．

解答 解：（1）∵四边形ABCD的外接圆为圆O，
线段AB与线段DC的延长线交于点E，
由∠BCE=∠DAE，∠BEC=∠DEA，
∴△EBC∽△EDA，
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{AD}$，
∵$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{3}$，BC=1，
∴BE=3；
（2）在△DAE中，AC为∠DAB的角平分线，
则$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DC}{CE}$，即有AD•CE=AE•DC①
由于EA，ED是圆的两条割线，
则DE•CE=AE•BE②
①÷②，$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DC}{BE}$，
由$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{3}$，可得$\frac{DC}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
由BE=λDC（λ∈R），
可得λ=3．

点评 本题考查圆的内接四边形的性质，主要三角形相似的判定和性质，同时考查三角形内角平分线的性质和圆的切割线定理的运用，属于中档题．