Question

19．在四面体P-ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则$\frac{a}{b}$的取值范围是（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 取AB的中点为D，求得CD、PD的值，由题意可得$\frac{a}{b}$＜1①，根据PD＞0求得$\frac{a}{b}$＞$\frac{1}{2}$ ②．再根据△PCD中，任意两边之和大于第三边，求得$\sqrt{2-\sqrt{3}}$＜$\frac{a}{b}$＜$\sqrt{2+\sqrt{3}}$ ③．综合①②③可得$\frac{a}{b}$的范围．

解答 解：取AB的中点为D，则由PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，
可得CD⊥AB，PD⊥AB，∴CD=$\sqrt{{BC}^{2}{-BD}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，PD=$\sqrt{{PA}^{2}{-AD}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{b}^{2}}{4}}$，$\frac{a}{b}$＜1①，
∴a²-$\frac{{b}^{2}}{4}$＞0，求得$\frac{a}{b}$＞$\frac{1}{2}$ ②．
根据△PCD中，任意两边之和大于第三边，可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}-\frac{{b}^{2}}{4}}+\frac{\sqrt{3}}{2}b＞b}\\{b+\frac{\sqrt{3}}{2}b＞\sqrt{{a}^{2}-\frac{{b}^{2}}{4}}}\\{\sqrt{{a}^{2}-\frac{{b}^{2}}{4}}+b＞\frac{\sqrt{3}}{2}b}\end{array}\right.$，
求得（2-$\sqrt{3}$）b²＜a²＜（2+$\sqrt{3}$）b²，故有$\sqrt{2-\sqrt{3}}$＜$\frac{a}{b}$＜$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ ③．
综合①②③可得$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{a}{b}$＜1，
故答案为：（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题主要考查棱锥的结构特征，三角形任意两边之和大于第三边，解根式不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．