Question

5．已知函数f（x）=ax²+bln（x+1）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，b=-2，求f（x）的单调区间；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，讨论f（x）的单调性；
（3）若a=$\frac{1}{2}$，b=-2，求f（x）在x=0处的切线方程；
（4）若a=$\frac{1}{2}$，讨论f（x）与y=3的交点个数．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=x-2（x+1）=-x-2，x＞0，利用导数即可判断．
（2）f′（x）=x+b（x+1）=（1+b）x+b，x＞0．分类讨论求解不等式即可．
（3）f′（0）=-2，f（0）=0，利用导数的几何意义得出：切线过（0，0），斜率为-2，再运用直线的方程求解即可．
（3）根据（2）结论得出利用单调性，可判断交点个数．

解答 解：f（x）=ax²+bln（x+1）．f′（x）=2ax+b（x+1），x＞0．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，b=-2，f′（x）=x-2（x+1）=-x-2，x＞0．
∵可判断f′（x）＜0，在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
（2）a=$\frac{1}{2}$，f′（x）=x+b（x+1）=（1+b）x+b，x＞0．
∵（1+b）x+b＞0，
当b＞-1时，x$＞-\frac{b}{1+b}$，y′＞0，
x$＜-\frac{b}{1+b}$，y′＜0，
当b＜-1时，x$＜-\frac{b}{1+b}$，y′＞0，x$＞-\frac{b}{1+b}$，y′＜0，
可判断：-1＜b＜0时，$-\frac{b}{1+b}$＞0，f（x）在（0，$-\frac{b}{1+b}$）单调递减，在（$-\frac{b}{1+b}$，+∞）单调递增．
当b≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当b≤-1时，（1+b）x+b＜0在（0，+∞）上恒成立，故b≤-1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（3）∵a=$\frac{1}{2}$，b=-2，f′（x）=x-2（x+1）=-x-2，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ln（x+1）．
∴f′（0）=-2，f（0）=0，
切线过（0，0），斜率为-2，
方程为y=-2x．
（4）若a=$\frac{1}{2}$，f′（x）=x+b（x+1）=（1+b）x+b，x＞0．f（x）=$\frac{1}{2}$x²+bln（x+1）．f（0）=0
已知得出；-1＜b＜0时，$-\frac{b}{1+b}$＞0，f（x）子（0，$-\frac{b}{1+b}$）单调递减，在（$-\frac{b}{1+b}$，+∞）单调递增．
当b≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当b≤-1时，（1+b）x+b＜0在（0，+∞）上恒成立，故b≤-1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴-1＜b＜0时，f（x）与y=3的交点有1个．
当b≥0时，f（x）与y=3的交点有1个．
当b≤-1时，f（x）与y=3的交点有0个．
综上：b＞-1，f（x）与y=3的交点有1个
当b≤-1时，f（x）与y=3的交点有0个．

点评 本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调，说明函数的导函数在该区间内恒大于等于0或恒小于等于0．分类讨论的思想．此题是中档题