Question

18．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过M（2，2e），N（2e，$\sqrt{3}$）两点，其中e为椭圆的离心率，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将M（2，2e），N（2e，$\sqrt{3}$）两点代入椭圆方程求得椭圆方程．
（2）利用$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，得到x₁x₂+y₁y₂=0，直线和椭圆联立方程解得$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=0$，继而求得所需参数．

解答 解：（Ⅰ）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}=1}\\{\frac{4{c}^{2}}{{a}^{4}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}=4}\\{\frac{4（{a}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{4}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}=4}\\{{a}^{2}=8}\end{array}\right.$⇒$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$…5分
（ II）假设满足题意的圆存在，其方程为x²+y²=r²，其中0＜r＜2．
设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点
当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为y=kx+m
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为$r=\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$①
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0⇒$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{2{k}^{2}+1}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}+{m}^{2}）$=$\frac{{k}^{2}（2{m}^{2}-8）}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}+{m}^{2}=\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$
要使$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=0$，
所以3m²-8k²-8=0，②…（9分）
${r}^{2}=\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{{m}^{2}}{1+\frac{3{m}^{2}-8}{8}}=\frac{8}{3}$，$r=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，所求的圆为${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{8}{3}$，…（10分）
而当切线的斜率不存在时切线为$x=±\frac{2\sqrt{6}}{3}$与椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$的两个交点为$（\frac{2\sqrt{6}}{3}，±\frac{2\sqrt{6}}{3}）$或$（-\frac{2\sqrt{6}}{3}，±\frac{2\sqrt{6}}{3}）$满足$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，…（12分）
综上，存在圆心在原点的圆${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{8}{3}$，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．…（13分）

点评 本题主要考查了直线和圆锥曲线的综合应用，在高考中属压轴题目，难度较大．