Question

6．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中点O，连接PO，CO，由已知及ABCD为菱形得到PO⊥AB，CO⊥AB．再由线面垂直的判定得到
AB⊥平面PCO，从而得到AB⊥PC；
（Ⅱ）通过解直角三角形求得PO⊥OC，又PO⊥AB，得到PO为四棱锥P-ABCD的高，求出底面菱形的面积，代入棱锥体积公式求得四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO．
∵AP=BP，∴PO⊥AB，
又四边形ABCD是菱形，且∠BCD=120°，
∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB．
又PO∩CO=O，
∴AB⊥平面PCO，又PC?平面PCO，∴AB⊥PC；
（Ⅱ）解：∵$PA=PB=\sqrt{2}，AB=2$，
∴∠APB=90°，∴PO=1．
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴$OC=\sqrt{3}$，又PC=2，∴PO²+CO²=PC²，
∴PO⊥OC，又PO⊥AB，
∴PO为四棱锥P-ABCD的高，
∵∠BCD=120°，AB=2，
∴菱形ABCD的面积为$2×\frac{1}{2}×2×2sin120°=2\sqrt{3}$．
则所求棱锥体积为$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．