Question

10．直线y=k（x-1）交抛物线y²=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为$2\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 把直线y=kx-k代入抛物线y²=8x，利用AB的中点的横坐标为3，结合根与系数的关系求出k的值，即可求弦AB的长．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，k²x²-（2k²+8）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，
∵AB的中点的横坐标为2，∴$\frac{2{k}^{2}+8}{{k}^{2}}=4$，
解得：k=±2，
当k=-2时，方程k²x²-（2k²+8）x+k²=0化为x²-4x+1=0，
x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
|AB|=$\sqrt{1+（-2）^{2}}\sqrt{{4}^{2}-4×1}=2\sqrt{15}$；
当k=2时，方程k²x²-（2k²+8）x+k²=0化为x²-4x+1=0，
x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
|AB|=$\sqrt{1+{2}^{2}}\sqrt{{4}^{2}-4×1}=2\sqrt{15}$．
∴|AB|=2$\sqrt{15}$．
故答案为：$2\sqrt{15}$．

点评 本题考查弦长的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．