Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，（a＞1），过点A（-a，0）斜率为k（k＞0）的直线交椭圆于点B．直线BO（O为坐标原点）交椭圆于另一点C．
（1）当a=2时是否存在k使得|AC|=|BC|？
（2）若k∈[$\frac{1}{2}$，1]，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程为x+a=my（m=$\frac{1}{k}$），代入椭圆方程，运用中点坐标公式可得P的坐标，再由两直线垂直的条件，可得m，进而得到k的值；
（2）求出△ABC的面积，化简整理，再令f（m）=m+$\frac{{a}^{2}}{m}$，求出导数，判断单调性，即可得到最大值，注意讨论a的范围．

解答 解：（1）设直线AB的方程为x+a=my（m=$\frac{1}{k}$），
代入椭圆方程得（m²+a²）y²-2may=0
将a=2代入得（m²+4）y²-4my=0，
则AB的中点坐标为P（-$\frac{8}{{m}^{2}+4}$，$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$），
B（$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4m}{{m}^{2}+4}$），C（-$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，-$\frac{4m}{{m}^{2}+4}$），
则$\frac{\frac{2m}{{m}^{2}+4}+\frac{4m}{{m}^{2}+4}}{\frac{-8}{{m}^{2}+4}+\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}}$=-$\frac{1}{k}$=-m，解得m=$\sqrt{5}$，
所以存在k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，使得|AC|=|BC|；
（2）由（1）得B（$\frac{a{m}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}+{m}^{2}}$，$\frac{2am}{{a}^{2}+{m}^{2}}$），C（-$\frac{a{m}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}+{m}^{2}}$，-$\frac{2am}{{a}^{2}+{m}^{2}}$），
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$a•$\frac{4am}{{a}^{2}+{m}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{m+\frac{{a}^{2}}{m}}$，
令f（m）=m+$\frac{{a}^{2}}{m}$，f′（m）=1-$\frac{{a}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}}{{m}^{2}}$（1≤m≤2）
当a≥2时，f′（m）≤0，f（m）=m+$\frac{{a}^{2}}{m}$，在[1，2]上单调递减，
所以当m=2时，△ABC的面积的最大值为$\frac{4{a}^{2}}{4+{a}^{2}}$，
当1＜a＜2时，f（m）=m+$\frac{{a}^{2}}{m}$在[1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，
所以当m=a时，△ABC的面积的最大值为a．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用中点坐标公式，以及直线垂直的条件，同时考查三角形的面积的最值，注意运用函数的导数判断单调性，属于中档题．