Question

9．已知定点F₁（-1，0），F₂（1，0），P为圆F₁：（x+1）²+y²=8上一动点，点M满足（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}P}$（0≤λ≤1）．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设点M坐标为（x，y），求证：|MF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
（Ⅲ）过点F₂作直线l交C于A，B两点，求$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积公式，化简条件，确定M的轨迹是以F₁，F₂为焦点，长轴长为2$\sqrt{2}$的椭圆，即可求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）证明|F₁M|=$\sqrt{（x-1）^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x-2|，即可证明|MF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
（Ⅲ）分类讨论，利用韦达定理，即可求出$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$．

解答 解：（Ⅰ）∵点M满足（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，
∴（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）=（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）=$\overrightarrow{MP}$²-$\overrightarrow{M{F}_{2}}$²=0，
即|$\overrightarrow{MP}$|=|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|．
又$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}P}$，∴F₁，M，P三点共线，
由题意知M在线段F₁P上，∴|F₁M|+|MP|=2$\sqrt{2}$
∴|F₁M|+|MF₂|=2$\sqrt{2}$，
∴M的轨迹是以F₁，F₂为焦点，长轴长为2$\sqrt{2}$的椭圆，
∴M的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；  （4分）
（Ⅱ）设M（x，y），|F₁M|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
又∵$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
∴|F₁M|=$\sqrt{（x-1）^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x-2|
∴-2≤x≤2，
∴|MF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
（Ⅲ）（1）当直线l斜率不存在时，|AF₂|=|BF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=2$\sqrt{2}$，（8分）
（1）当直线l斜率存在时，设直线l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线l与$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$联立得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
韦达定理得：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$
由（Ⅱ）问结论知|AF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁；|BF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂；
∴$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2-（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
综上$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=2$\sqrt{2}$ （12分）

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．