Question

18．已知sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，α∈（0，π），求sinα-cosα及tanα的值．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值，进而判断出sinα-cosα的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα-cosα的值，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出tanα的值．

解答 解：把sinα+cosα=$\frac{1}{5}$①，两边平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，
∵α∈（0，π），
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，即sinα-cosα=$\frac{7}{5}$②，
联立①②，解得：sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，
则tanα=-$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．