Question

12．在等差数列{a_n}中，已知a₂=3，公差d=2，设b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，则数列{b_n}的前n项和T_n=（　　）

• A． $\frac{1}{2n+1}$
• B． $\frac{2n+2}{2n+1}$
• C． $\frac{2n}{2n+1}$
• D． $\frac{n}{2n+1}$

Answer 1

分析 由等差数列{a_n}中，已知a₂=3，公差d=2，可得a_n=a₂+（n-2）d．于是b_n=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，已知a₂=3，公差d=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1．
∴b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．