Question

7．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x+4．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知f（α）=5，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4，由三角函数的周期性及其求法及正弦函数的图象可得函数f（x）的最小正周期和最大值．
（2）由f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{6}$）+4=5，可解得$\sqrt{3}$sin2α+cos2α=1，由三角函数中的恒等变换应用整理可得：tan²α=$\sqrt{3}$tanα，从而可得tanα的值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x+4
=sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$+sin2xcos$\frac{π}{6}$-cos2xsin$\frac{π}{6}$+cos2x+4
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+4
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最大值为6；
（2）∵f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{6}$）+4=5，
∴可解得：sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，可得：$\sqrt{3}$sin2α+cos2α=1
∴$\frac{2\sqrt{3}tanα}{1+ta{n}^{2}α}$+$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=1，整理可得：tan²α=$\sqrt{3}$tanα，从而可得：tanα=0或，$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的求法，属于基本知识的考查．