Question

15．若函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A（m，n），则函数f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（nx²-mx+3）的单调递增区间[1，3），．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质求出定点坐标，确定m，n，利用换元法，结合复合函数单调性之间的进行求解即可．

解答 解：由x+3=1得x=-2，此时y=log_a1-1=-1，
即函数过定点A（-2，-1），即m=-2，n=-1，
即f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（nx²-mx+3）=${log}_{\frac{1}{2}}$（-x²+2x+3）
设t=-x²+2x+3，由t=-x²+2x+3＞0得-1＜x＜3，且当x∈（-1，1]时，函数t=-x²+2x+3递增，
当x∈[1，3）时，函数t=-x²+2x+3递减，
则函数y=${log}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，
要求f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（nx²-mx+3）的单调递增区间，即求t=-x²+2x+3的递减区间，
即x∈[1，3），
故函数f（x）的递增区间为[1，3），
故答案为：[1，3）．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及对数函数的性质是解决本题的关键．