Question

6．已知曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）把曲线C的普通方程化为参数方程，把直线l的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程即可；
（2）利用曲线C的参数方程求出点P到直线l的距离d，计算|PA|=$\frac{d}{si{n30}^{°}}$，利用三角函数的恒等变换求出它的最大与最小值即可．

解答 解：（1）∵曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ为参数；
又直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），
化为普通方程是l：y=2-$\sqrt{3}$x，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入得，
ρsinθ=2-$\sqrt{3}$ρcosθ，
化简，得ρ（sinθ+$\sqrt{3}$cosθ）=2，
即ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1，
∴直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1；
（2）设曲线C上任意一点P（2cosθ，sinθ），
则点P到直线l的距离为d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ+sinθ-2|}{\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ+α）-2|}{2}$，
∴|PA|=$\frac{d}{si{n30}^{°}}$=2d=|$\sqrt{13}$sin（θ+α）-2|，其中α为锐角，
当sin（θ+α）=-1时，|PA|取得最大值，为$\sqrt{13}$+2；
当sin（θ+α）=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$时，|PA|取得最小值，为0．

点评 本题考查了直线与椭圆的参数方程和极坐标的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换的应用问题，是综合性题目．