Question

13．若直线x+3y+m=0截半圆y=$\sqrt{25-{x}^{2}}$所得的弦长为8，则m=-3$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答 解：半圆y=$\sqrt{25-{x}^{2}}$得：x²+y²=25，y≥0．
∴圆心（0，0），半径r=5，
∵圆心到直线x+3y+m=0的距离d=$\frac{\left|m\right|}{\sqrt{10}}$，直线被圆截得的弦长为8，
∴2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=8，即$\sqrt{25-\frac{{m}^{2}}{10}}=4$，
解得：c=3$\sqrt{10}$（舍去）或-3$\sqrt{10}$．
故答案为：-3$\sqrt{10}$．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键