Question

10．定义[X]表示不超过X的最大整数．设n∈N^*，且M=（n+1）²+n-[$\sqrt{（n+1）^{2}+n+1}$]²，则下列不等式恒成立的是（　　）

• A． M²≥2ⁿ⁺¹
• B． 当n≥2时，2^M≥4n-2
• C． M²≥2n+1
• D． 当n≥3时，2^M≥2n+2

Answer 1

分析 分析：首先理解[x]所表示的含义，然后把$\sqrt{（n+1）^{2}+n+1}$]²（进行化简，得到M=n＞0，再分别判断各选项是否正确，问题得以解决．

解答 解：∵则n是正整数，
∴[$\sqrt{（n+1）^{2}+n+1}$]²=[（n+1）（n+2）]²=（n+1）²等式成立，
∴M=（n+1）²+n-（n+1）²=n＞0，
对于选项A：M²=n²≥2ⁿ⁺¹当n=1不成立，
对于选项B：2^M=2ⁿ≥4n-2，当n=3时，不成立
对于选项C：M²=n²≥2n+1当n=1不成立，
对于选项D：2^M=2ⁿ≥2n+2，分别画出y=2x与y=2x+1的图象，如图所示，
由图象可知，当n≥3时，2^M≥2n+2恒成立，
故选：D

点评 本题主要考查取整函数的知识点，解答本题的关键之处是把$\sqrt{（n+1）^{2}+n+1}$]²进化简成（n+1）²，只要此步有思路了，本题就迎刃而解了．