Question

5．如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．
（I）求AM的长；
（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）由题意和等边三角形的知识可得；
（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，由垂直关系可得面BCE的法向量$\overrightarrow{n}$，进而可得cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AM}$＞的值，即得答案．

解答 解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点，
∴$AC=AD=DC=2，AM=\sqrt{3}$；
（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，
以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，
可得$A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），C（0，0，\sqrt{3}），E（-1，1，0），M（-\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AM}=（-\frac{3}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{CB}=（1，2，-\sqrt{3}），\overrightarrow{EB}=（2，1，0）$，
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$为面BCE的法向量，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=2x+y=0}\end{array}\right.$可得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

点评 本题考查空间向量与立体几何，建系是解决问题的关键，属中档题．