Question

13．已知点A、D分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD上任意一点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，且$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$的最大值是1，最小值是-$\frac{11}{5}$．
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆的右顶点为B，点S是椭圆位于x轴上方的一点，直线AS直线BS与直线l：x=$\frac{34}{15}$分别交于M、N两点，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$的最大值是1，可得a²-c²=1，即b=1，利用$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$的是最小值是-$\frac{11}{5}$解得b，即可求椭圆方程．
（2）设直线AS的斜率为k＞0，利用k_AS•k_BS=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，可得k_BS=-$\frac{1}{4k}$．直线AS，BS的方程分别为：y=k（x+2），y=-$\frac{1}{4k}$（x-2）．令x=$\frac{34}{15}$，可得M，N．求出|MN|再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$的最大值是1，可得a²-c²=1，即b=1，
∴AD的方程为y=$\frac{x}{a}$+1
设P（x，y）（-a≤x≤0），则
$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$=（x+c，y）•（x-c，y）=x²-c²+y²=
（1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）（x+$\frac{a}{{a}^{2}+1}$）²-$\frac{{a}^{4}-{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$
∵$\overline{P{F}_{1}}$•$\overline{P{F}_{2}}$的最小值是-$\frac{11}{5}$．
∴-$\frac{{a}^{4}-{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$=-$\frac{11}{5}$
∴a²=4，b=1，
所求的椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）设直线AS的斜率为k＞0，
∵k_AS•k_BS=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴k_BS=-$\frac{1}{4k}$．
∴直线AS，BS的方程分别为：y=k（x+2），y=-$\frac{1}{4k}$（x-2）．
令x=$\frac{34}{15}$，则M（$\frac{34}{15}$，$\frac{64k}{15}$），N（$\frac{34}{15}$，-$\frac{1}{15k}$）．
∴|MN|=$\frac{64k}{15}+\frac{1}{15k}$≥$\frac{1}{15}×2\sqrt{64k•\frac{1}{k}}$=$\frac{16}{15}$，当且仅当k=$\frac{1}{8}$时取等号．
∴线段MN长度的最小值为$\frac{16}{15}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．