Question

4．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路间畅通或拥堵的概念．记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通； T∈[4，6）轻度拥堵； T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从郑州市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图 所示：
（Ⅰ）据此频率分布直方图估算交通指数T∈[3，9]时的中位数和平均数；
（Ⅱ）据此频率分布直方图求出该市早高峰三环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？
（Ⅲ）某人上班路上所用时间若畅通时为25分钟，基本畅通为35分钟，轻度拥堵为40分钟；中度拥堵为50分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用频率分布表求出T∈[3，9]时交通指数的中位数，T∈[3，9]时交通指数的平均数即可．
（Ⅱ）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，利用独立重复试验的概率求解3条路段中DP至少有两条路段严重拥堵的概率．
（Ⅲ）列出所用时间x的分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）由直方图知：T∈[3，9]时交通指数的中位数为5+1×$\frac{0.2}{0.24}$=$\frac{35}{6}$…（2分）T∈[3，9]时交通指数的平均数3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1=5.92…（4分）
（Ⅱ）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1…（5分）
则3条路段中DP至少有两条路段严重拥堵的概率为：$P=C_3^2×{（{\frac{1}{10}}）^2}×（{1-\frac{1}{10}}）+C_3^3×{（{\frac{1}{10}}）^3}=\frac{7}{250}$…（7分）
∴3条路段中至少有两条路段严重拥堵的MQ概率为$\frac{7}{250}$…（8分）
（Ⅲ）由题意，所用时间x的分布列如下表：

x	35	40	50	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

则Ex=35×0.1+40×0.44+50×0.36+60×0.1=45.1…（11分）
∴此人经过该路段所用时间的数学期望是45.1分钟…（12分）

点评 本题考查离散型独立重复试验的概率的求法，频率分布直方图的应用，期望的求法，考查计算能力．