Question

1．已知函数f（x）=3sin2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+5cos2x．
（1）求函数f（x）的周期和最大值；
（2）已知f（a）=5，求tana的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{37+6\sqrt{3}}$sin（2x+θ），（其中tanθ=$\frac{5}{3+\sqrt{3}}$），由三角函数的周期性及其求法及正弦函数的图象即可得解．
（2）由三角函数中的恒等变换应用可得f（a）=（3+$\sqrt{3}$）sin2a+5cos2a=（3+$\sqrt{3}$）×$\frac{2tana}{1+ta{n}^{2}a}$+5×$\frac{1-ta{n}^{2}a}{1+ta{n}^{2}a}$=5，即可解得tana的值．

解答 解：（1）∵f（x）=3sin2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+5cos2x
=3sin2x+$\sqrt{3}$sin2x+5cos2x
=（3+$\sqrt{3}$）sin2x+5cos2x
=$\sqrt{37+6\sqrt{3}}$sin（2x+θ），（其中tanθ=$\frac{5}{3+\sqrt{3}}$）
∴函数f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}=π$，最大值为：$\sqrt{37+6\sqrt{3}}$．
（2）∵f（a）=（3+$\sqrt{3}$）sin2a+5cos2a=（3+$\sqrt{3}$）×$\frac{2tana}{1+ta{n}^{2}a}$+5×$\frac{1-ta{n}^{2}a}{1+ta{n}^{2}a}$=5，
∴整理可得：10tan²a=tana（6+2$\sqrt{3}$）．
∴可解得：tana=0，或tana=$\frac{3+\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．