Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），右焦点为F，点B为短轴的一个端点，O为坐标原点，若∠BFO=30°，且椭圆上任意一点到点F的最短距离为2-$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（1，2）作椭圆C的切线，求切线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意列出关于a，c的方程组，求解方程组得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出切点，得到关于切点坐标的方程，再由切点在椭圆上得另一方程，联立方程组求得切点坐标，则椭圆的切线方程可求．

解答 解：（1）如图，

由题意可得，a=2b，且a-c=2-$\sqrt{3}$，
又a²=b²+c²，得a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由题意，设过点P（1，2）的椭圆的切线与椭圆的切点为（x₀，y₀），
则$\frac{{x}_{0}}{4}+\frac{2{y}_{0}}{3}=1$，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}}{4}+\frac{2{y}_{0}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{12+8\sqrt{7}}{19}}\\{{y}_{0}=\frac{24-3\sqrt{7}}{19}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{12-8\sqrt{7}}{19}}\\{{y}_{0}=\frac{24+3\sqrt{7}}{19}}\end{array}\right.$．
∴所求企切线方程为：$（9+6\sqrt{7}）x+（48-6\sqrt{7}）y-57=0$，或$（9-6\sqrt{7}）x+（48+6\sqrt{7}）y-57=0$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆切线方程的求法，设出过椭圆外一点的切线方程是解答该题的关键，考查了计算能力，是中档题．