Question

9．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f′（x）是f（x）的导函数，若对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-2^x]=3，则方程f′（x）-$\frac{4}{x}$=0的解所在的区间是（1，2）．

Answer 1

分析 由题意，可知f（x）-2^X是定值，令t=f（x）-2^X，得出f（x）=2^X+t，再由f（t）=2^t+t=3求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f′（x）-$\frac{4}{x}$=0的解所在的区间，即得正确选项

解答 解：由题意，可知f（x）-2^X是定值，令t=f（x）-2^X，则f（x）=2^X+t
又f（t）=2^t+t=3，解得t=1
所以有f（x）=2^X+1
所以f′（x）=2^X•ln2，
令F（x）=f′（x）-$\frac{4}{x}$=2^X•ln2-$\frac{4}{x}$
可得F（1）=2¹•ln2-4＜0，F（2）=2²•ln2-2＞0，
即F（x）=2^X•ln2-$\frac{4}{x}$零点在区间（1，2）内
所以f′（x）-$\frac{4}{x}$=0的解所在的区间是（1，2）；
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）-2^x是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究．