Question

11．已知f（x）=lnx+（x-a）²
（1）若a＞0，且f（x）存在极值，求实数a的取值范围
（2）在（1）条件下，求证：f（x）的所有极值一和大于ln$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求导数，可得2a=$\frac{1}{x}$+2x在（0，+∞）上有解，求出a的范围，再验证即可得出结论；
（2）2x²-2ax+1=0的两个根为x=$\frac{1}{2}$（a±$\sqrt{{a}^{2}-2}$），求出极值．即可证明结论．

解答 （1）解：∵f（x）=lnx+（x-a）²，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）=0，即2a=$\frac{1}{x}$+2x在（0，+∞）上有解，
∴2a≥2$\sqrt{2}$，
∴a≥$\sqrt{2}$，
a=$\sqrt{2}$时，f′（x）＞0，函数无极值，
∴a＞$\sqrt{2}$；
（2）证明：f′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）=0，即2x²-2ax+1=0的两个根为x=$\frac{1}{2}$（a±$\sqrt{{a}^{2}-2}$），
∴f（x）的所有极值和=ln$\frac{1}{2}$（a+$\sqrt{{a}^{2}-2}$）+[$\frac{1}{2}$（-a+$\sqrt{{a}^{2}-2}$）]²-2+ln$\frac{1}{2}$（a-$\sqrt{{a}^{2}-2}$）+[$\frac{1}{2}$（-a-$\sqrt{{a}^{2}-2}$）]²=ln$\frac{1}{2}$+a²-1＞1-ln2=ln$\frac{e}{2}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．