Question

12．已知点A（1，1），B（1，-1），C（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），O为坐标原点．
（1）若|$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$|=$\sqrt{2}$，求sin2θ的值；
（2）若实数m，n满足m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，求（m-3）²+n²的最大值和取得最大值时的θ．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标计算（终点坐标减始点坐标）求出$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$，然后再根据向量减法和模的坐标计算结合条件|$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$|=$\sqrt{2}$，得出sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再两边平方即可得解．
（2）根据向量相等和条件m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，求出$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ+sinθ）}\\{n=\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ-sinθ）}\end{array}\right.$，然后再代入（m-3）²+n²中可得（m-3）²+n²=-3$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+10再结合辅助角公式可得（m-3）²+n²=-6sin（θ+$\frac{π}{4}$）+10从而可得出当sin（θ+$\frac{π}{4}$）=-1时，（m-3）²+n²取得最大值16．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，A（1，1），B（1，-1），C（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ）
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$cosθ-1，$\sqrt{2}$sinθ-1）
∴|$\overrightarrow{AC}$|²=（$\sqrt{2}$cosθ-1）²+（$\sqrt{2}$sinθ-1）²=-2$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+4．
∴-2$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+4=2，即sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
两边平方得1+sin2θ=$\frac{1}{2}$，
∴sin2θ=-$\frac{1}{2}$．
（2）由已知得：（m，m）+（n，-n）=（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=\sqrt{2}cosθ}\\{m-n=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ+sinθ）}\\{n=\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ-sinθ）}\end{array}\right.$，
∴（m-3）²+n²=m²+n²-6m+9，
=-3$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+10
=-6sin（θ+$\frac{π}{4}$）+10，
∴当sin（θ+$\frac{π}{4}$）=-1时，（m-3）²+n²取得最大值16．

点评 本题主要考察了向量的坐标计算、减法、模的坐标计算以及三角函数的化简求值，属常考题型，较难．解题的关键是掌握常用的变形技巧：通过sinθ±cosθ两边平方求出sin2θ：通过辅助角公式可将-3$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+10化为-6sin（θ+$\frac{π}{4}$）+10！