Question

4．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都是$\sqrt{2}$，点A₁在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心，则三棱锥C₁-BCA₁的体积${V}_{{C}_{1}-BC{A}_{1}}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，先求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，再求得${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CB}$的大小，从而得${V}_{{C}_{1}-BC{A}_{1}}$的大小．

解答 解：连接AO，∵A₁在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，
∴A₁O为三棱锥B-A₁B₁C₁的高，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为$\sqrt{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴A₁O=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•A₁O=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2，
∴${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CB}$=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{4}{3}$，
∴${V}_{{C}_{1}-BC{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CB}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查割补法求几何体的体积，割补法是求几何体体积的常用方法，必需熟练掌握．