Question

14．已知在数列{a_n}中，a₁=1．
（1）设a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+1=$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+1}&{当n为偶数时}\\{2{a_n}}&{当n奇数时}\end{array}}$，求数列{a_n}的前2m项和S_2m；
（3）当a_n+1=$\frac{1}{{{a_n}+1}}$时，是否存在一个常数p，使a_2n＜p＜a_2n+1对任意正整数n都成立？如果存在，请求出p的值，并证明；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令a_n+1+x=2（a_n+x），求出x，说明数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．
（2）说明数列{a_2n-1+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出 ${a_{2n}}={2^{n+1}}-2$，然后求解S_2m即可．
（3）判断数列{a_n}中的各项均满足0＜a_n≤1，猜想：$0＜{a_{2n}}＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}＜{a_{2n+1}}≤1$，用数学归纳法证明步骤证明，人利用函数的单调性证明：存在常数$p=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，使a_2n＜p＜a_2n+1对任意正整数n都成立．

解答 解：（1）由题意a_n+1=2a_n+1，令a_n+1+x=2（a_n+x），比较得到x=1，
故有a_n+1+1=2（a_n+1），所以数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，…2分
因此${a_n}+1=2•{2^{n-1}}={2^n}$，所以${a_n}={2^n}-1$，n∈N^*．…4分
（2）由题意可知a_2n+1=a_2n+1，a_2n=2a_2n-1，所以a_2n+1=2a_2n-1+1，
所以a_2n+1+1=2（a_2n-1+1），所以数列{a_2n-1+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
由a₁=1，可得到${a_{2n-1}}+1={2^n}$，${a_{2n-1}}={2^n}-1$，n∈N^*
又因为a_2n+2=2a_2n+1=2（a_2n+1），所以a_2n+2=2a_2n+2…6分
由a₂=2，同样可以求得 ${a_{2n}}={2^{n+1}}-2$，n∈N^*…8分
所以S_2m=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2m-1+a_2m=（a₁+a₃+…+a_2m-1）+（a₂+a₄+…+a_2m）=（2+2²+…+2^m-m）+（2²+2³+…+2^m+1-2m）=（2^m+1-2-m）+（2^m+2-4-2m）=3•2^m+1-3m-6，即S_2m=3•2^m+1-3m-6…10分
（3）因为$f（x）=\frac{1}{x+1}$在[0，+∞）上单调递减且f（x）＞0，
由a_n+1=f（a_n），a₁=1可知数列{a_n}中的各项均满足0＜a_n≤1
由要证明不等式的结构可令f（x）=x，解得$x=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
故猜想：$0＜{a_{2n}}＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}＜{a_{2n+1}}≤1$，…13分
下面用数学归纳法证明：
证明：（i）当n=1时，${a_2}=f（1）=\frac{1}{2}$，${a_3}=f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{3}$，
所以$0＜{a_2}＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}＜{a_3}≤1$，命题成立；
（ii）假设n=k（k∈N^*）时，命题成立，即有$0＜{a_{2k}}＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}＜{a_{2k+1}}≤1$，
由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
所以 $f（0）＞f（{a_{2k}}）＞f（\frac{{\sqrt{5-1}}}{2}）＞f（{a_{2k+1}}）≥f（1）$
即$0＜\frac{1}{2}＜{a_{2k+2}}＜\frac{{\sqrt{5-1}}}{2}＜{a_{2k+1}}＜1$，
再次利用函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
得到 $f（0）＞f（{a_{2k+2}}）＞f（\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}）＞f（{a_{2k+1}}）＞f（1）$，
即$0＜\frac{1}{2}＜{a_{2k+2}}＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}＜{a_{2k+3}}＜1$，
所以n=k+1时命题也成立，
所以$0＜{a_{2n}}＜\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}＜{a_{2n+1}}≤1$
即存在常数$p=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，使a_2n＜p＜a_2n+1对任意正整数n都成立．…16分．

点评 本题考查数列的判断，数列与不等式的综合应用，数学归纳法的应用，数列与函数综合，考查分析问题解决问题的能力．