Question

13．函数f（x）=log_a（2+x），g（x）=log_a（2-x）（a＞0且a≠1），则F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x）的奇偶性是偶函数，奇函数．

Answer 1

分析 求出函数的解析式和定义域，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：∵f（x）=log_a（2+x），g（x）=log_a（2-x），
∴F（x）=f（x）+g（x）=log_a（2+x）+log_a（2-x），
G（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
由$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-2}\\{x＜2}\end{array}\right.$，即-2＜x＜2，即两个函数的定义域为（-2，2），关于原点对称，
则F（-x）=log_a（2-x）+log_a（2+x）=F（x），则F（x）是偶函数，
G（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-[log_a（2+x）-log_a（2-x）]=-G（x），
则G（x）是奇函数，
故答案为：偶函数，奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．注意要先判断函数的定义域是否关于原点对称．