Question

2．三棱锥P-ABC内接于球O，球O的表面积是24π，∠BAC=$\frac{π}{3}$，BC=4，则三棱锥P-ABC的最大体积是$\frac{16\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 设球的半径为R，球心为O，如图所示，由球O的表面积是24π，可得4πR²=24π，解得R．设△ABC的外心为O₁，外接圆的半径为r，则O₁B=r=$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{sin\frac{π}{3}}$，可得$O{O}_{1}=\sqrt{O{B}^{2}-{O}_{1}{B}^{2}}$．可得O₁P=$\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{3}$．在△ABC中，由余弦定理可得：${4}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，利用基本不等式的性质可得bc≤16，利用三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×{O}_{1}P$，即可得出．

解答 解：设球的半径为R，球心为O，如图所示，
∵球O的表面积是24π，∴4πR²=24π，解得$R=\sqrt{6}$．
设△ABC的外心为O₁，外接圆的半径为r，则O₁B=r=$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴$O{O}_{1}=\sqrt{O{B}^{2}-{O}_{1}{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴O₁P=$\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
在△ABC中，由余弦定理可得：${4}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，
化为b²+c²=bc+16≥2bc，∴bc≤16，当且仅当b=c=4时取等号．
∴三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×{O}_{1}P$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}$×$\frac{4\sqrt{6}}{3}$≤$\frac{2\sqrt{6}}{9}×\frac{\sqrt{3}}{2}×16$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{16\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了三棱锥外接球的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．