Question

11．已知函数f（x）=mlnx+nx（m、，n∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0．（1）m+n=$\frac{1}{2}$；（2）若x＞1时，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立，则实数k的取值范围是$（-∞，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由f′（1）=$\frac{1}{2}$得到m+n的值；利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0求得m，n的值，得到函数f（x）的解析式，代入f（x）+$\frac{k}{x}$＜0并整理，构造函数g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-xlnx$（x＞1），利用导数求得g（x）＞$\frac{1}{2}$得答案．

解答 解：由f（x）=mlnx+nx（m、，n∈R），
得$f′（x）=\frac{m}{x}+n$，∴f′（1）=m+n，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0，
∴m+n=$\frac{1}{2}$；
由f′（1）=$\frac{1}{2}$，f（1）=n，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-n=$\frac{1}{2}$（x-1），
即x-2y+2n-1=0．
∴2n-1=-2，解得n=-$\frac{1}{2}$．
∴m=1．
则f（x）=lnx-$\frac{1}{2}x$，
f（x）+$\frac{k}{x}$＜0等价于lnx-$\frac{1}{2}x$+$\frac{k}{x}＜0$，
即$k＜\frac{1}{2}{x}^{2}-xlnx$，
令g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-xlnx$（x＞1），
g′（x）=x-lnx-1，
再令h（x）=x-lnx-1，$h′（x）=1-\frac{1}{x}$，当x＞1时h′（x）＞0，
h（x）为增函数，又h（1）=0，
∴当x＞1时，g′（x）＞0，
即g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（1）=$\frac{1}{2}$．
则k$≤\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$；（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中高档题．