Question

10．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，焦点F₁（0，-c），F₂（0，c），过F₁的直线交椭圆于M，N两点，且△F₂MN的周长为8．
（1）求椭圆方程；
（2）与y轴不重合的直线l与y轴交与点P（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点A，B，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，若$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过设C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），利用椭圆的定义及已知条件，计算可得结论；
（2）通过联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理及$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$、$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，计算即得结论．

解答 解：（1）设C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由椭圆的定义及△F₂MN的周长为8可知：4a=8，
又∵离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$；
（2）设l：y=kx+m与椭圆C的交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
将y=kx+m代入$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，消去y可得：
（k²+2）x²+2kmx+m²-4=0，
∵△=8（2k²-m²+4）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2km}{2+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，
∴x₁+x₂=-2x₂，x₁•x₂=-3${{x}_{2}}^{2}$，
消去x₂得：3（x₁+x₂）²+4x₁•x₂=0，
∴3（-$\frac{2km}{2+{k}^{2}}$）²+4（$\frac{{m}^{2}-4}{2+{k}^{2}}$）=0，
即2k²m²+m²-2k²-4=0，
当m²=1时，显然不成立，
∴m²≠1，2k²=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$≥0，且2k²＞m²-4，
解得：m∈（-2，-1）∪（1，2）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．