Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，且对任意实数x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，则|$\overrightarrow{a}$|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 把所给的不等式平方可得x²-|$\overrightarrow{a}$|x+|$\overrightarrow{a}$|-1≥0恒成立，再利用二次函数的性质可得△=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4（|$\overrightarrow{a}$|-1）=${（|\overrightarrow{a}|-2）}^{2}$≤0，由此求得|$\overrightarrow{a}$|．

解答 解：由题意可得${\overrightarrow{a}}^{2}$+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+x²${\overrightarrow{b}}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$ 恒成立，
即x²+（2x-2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1≥0，即x²+（2x-2）|$\overrightarrow{a}$|•（-$\frac{1}{2}$）-1≥0 恒成立，
即x²-|$\overrightarrow{a}$|x+|$\overrightarrow{a}$|-1≥0恒成立，∴△=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4（|$\overrightarrow{a}$|-1）=${（|\overrightarrow{a}|-2）}^{2}$≤0，
求得|$\overrightarrow{a}$|=2，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数的恒成立问题，二次函数的性质应用，属于中档题．