Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，n∈N^*．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是等差数列；
（2）求证：$\frac{n^2}{n+1}$＜$\frac{a_1}{a_2}$+$\frac{a_2}{a_3}$+$\frac{a_3}{a_4}$+…+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$＜n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式求得${a}_{n+1}=\frac{1}{2-{a}_{n}}$，然后利用作差法证明数列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是等差数列；
（2）由（1）中的等差数列求出数列{a_n}的通项，整理后利用放缩法证明不等式右边，利用数学归纳法证明不等式左边．

解答 证明：（1）由a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，得${a}_{n+1}=\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
则$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2-{a}_{n}}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1-{a}_{n}}{{a}_{n}-1}=-1$．
∴数列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是以-1为公差的等差数列；
（2）由数列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是以-1为公差的等差数列，且$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}-1}=-2$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}=-2-（n-1）=-（n+1）$，则${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）^{2}-1}{（n+1）^{2}}=1-\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1，
则$\frac{a_1}{a_2}$+$\frac{a_2}{a_3}$+$\frac{a_3}{a_4}$+…+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$＜1=1+…+1=n；
下面利用数学归纳法证明$\frac{n^2}{n+1}$＜$\frac{a_1}{a_2}$+$\frac{a_2}{a_3}$+$\frac{a_3}{a_4}$+…+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$．
∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{n+1}{n+2}}=\frac{n（n+2）}{（n+1）^{2}}$，
当n=1时，$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{3}{4}＞\frac{1}{2}=\frac{{1}^{2}}{1+1}$，
假设当n=k时结论成立，即$\frac{{k}^{2}}{k+1}＜\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$，
那么，当n=k+1时，
$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}+\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k+2}}$$＞\frac{{k}^{2}}{k+1}+\frac{（k+1）（k+3）}{（k+2）^{2}}$，
要证$\frac{{k}^{2}}{k+1}+\frac{（k+1）（k+3）}{（k+2）^{2}}＞\frac{（k+1）^{2}}{k+2}$，
只要证k²（k+2）²+（k+1）²（k+3）＞（k+1）³（k+2），
也就是证：k⁴+4k³+4k²+k³+3k²+2k²+6k+k+3＞k⁴+2k³+3k³+6k²+3k²+6k+2+k，
即证：3＞2．
此式显然成立．
∴$\frac{（k+1）^{2}}{k+2}＜\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k+2}}$．
综上，当n=k+1时，不等式$\frac{n^2}{n+1}$＜$\frac{a_1}{a_2}$+$\frac{a_2}{a_3}$+$\frac{a_3}{a_4}$+…+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$成立．
∴$\frac{n^2}{n+1}$＜$\frac{a_1}{a_2}$+$\frac{a_2}{a_3}$+$\frac{a_3}{a_4}$+…+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$＜n．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了放缩法及数学归纳法证明数列不等式，属中高档题．