Question

5．已知直线x-2y+2=0经过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=$\frac{10}{3}$分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）确定线段MN的长度有无最小值，若有，请求出最小值，若无，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（$\frac{10}{3}$，$\frac{16}{3}k$）．题设条件可以求出N（$\frac{10}{3}$，-$\frac{1}{3k}$），所以|MN|=|$\frac{16k}{3}$+$\frac{1}{3k}$|，再由均值不等式进行求解．

解答 解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1），
∴a=2，b=1，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（$\frac{10}{3}$，$\frac{16}{3}k$）．
由y=k（x+2），代入椭圆方程得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
设S（x₁，y₁），则（-2）x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$得x₁=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，从而y₁=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$．
又B（2，0）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4k}（x-2）}\\{x=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$得N（$\frac{10}{3}$，-$\frac{1}{3k}$），
故|MN|=|$\frac{16k}{3}$+$\frac{1}{3k}$|，
又k＞0，∴|MN|=$\frac{16k}{3}$+$\frac{1}{3k}$≥2$\sqrt{\frac{16k}{3}•\frac{1}{3k}}$=$\frac{8}{3}$，
当且仅当$\frac{16k}{3}$=$\frac{1}{3k}$，即k=$\frac{1}{4}$时等号成立
∴k=$\frac{1}{4}$时，线段MN的长度取最小值$\frac{8}{3}$．

点评 本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中复杂的题目，要求答题者拥有较高的探究转化能力以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好的理解，且符号运算能力较强才能胜任此类题的解题工作，这是一个能力型的题，好题．