Question

6．已知函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜x+1，n∈N^*），其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定义a_n是函数f（x）的值域中的元素个数，数列{a_n}的前n项和为S_n，若$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$＜$\frac{m}{10}$，对n∈N^*均成立，则最小正整数m的值为（　　）

• A． 18
• B． 19
• C． 20
• D． 21

Answer 1

分析 先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，S_n，运用裂项相消求和和不等式恒成立思想，即可得到m的范围，进而得到最小值．

解答 解：∵函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），
∴[x]=n，则x[x]=nx
∴函数f（x）的值域中的元素个数是n
∴a_n=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
由于$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$＜$\frac{m}{10}$，对n∈N^*均成立，
即有2≤$\frac{m}{10}$，即为m≥20．
则最小正整数m的值为20．
故选：C．

点评 本题主要考查通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，以及考查了数列与不等式的综合，属于中档题．