Question

16．设函数g（x）=x²-2x+1+mlnx，（m∈R）．
（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；
（2）求函数y=g（x）的单调递增区间；
（3）若函数y=g（x）在x∈（$\frac{1}{4}$，+∞）上有两个极值点a，b，且a＜b，记{x}表示大于x的最小整数，求{g（a）}-{g（b）}的值．

Answer 1

分析 （1）把m=1代入函数解析式，求得导函数，得到切线的斜率，则切线方程可求；
（2）求出函数y=g（x）的定义域，求得导函数，由m得范围得到g′（x）所在不同区间内的符号，从而求得函数的单调区间；
（3）由（2）得到函数y=g（x）在x∈（$\frac{1}{4}$，+∞）上有两个极值点的m的范围，由a，b为方程2x²-2x+m=0的两相异正根，及根与系数关系，得到a，b的范围，把m用a（或b）表示，得到g（a）（或g（b）），求导得到g（b）的取值范围，进一步求得{g（a）}（或{g（b）}），则答案可求．

解答 解：（1）函数y=g（x）=x²-2x+1+mlnx，$g′（x）=2x-2+\frac{1}{x}$，k=g′（1）=1，
则切线方程为y=x-1，
故所求切线方程为x-y-1=0；
（2）函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），${g}^{′}（x）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{2{x}^{2}-2x+m}{x}$，
令g′（x）=0并结合定义域得2x²-2x+m＞0．
①当△≤0，即m$≥\frac{1}{2}$时，g′（x）≥0，则函数g（x）的增区间为（0，+∞）；
②当△＞0且m＞0，即0$＜m＜\frac{1}{2}$时，函数g（x）的增区间为$（0，\frac{1-\sqrt{1-2m}}{2}），（\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}，+∞）$；
③当△＞0且m≤0，即m≤0时，函数g（x）的增区间为$（\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}，+∞）$；
（3）由（2）得0$＜m＜\frac{1}{2}$，a，b为方程2x²-2x+m=0的两相异正根，
$\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}$，
又由2b²-2b+m=0，得m=-2b²+2b，
∴g（b）=b²-2b+1+mlnb=b²-2b+1+（-2b²+2b）lnb，b∈$（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$，
$g′（b）=2b-2+（-4b+2）lnb+2-2b=-4（b-\frac{1}{2}）lnb$，
当b∈$（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$时，g′（b）＞0，即函数g（b）是$（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$上的增函数．
故g（b）的取值范围是$（\frac{1-2ln2}{4}，\frac{1-6ln\frac{4}{3}}{16}）$，则{g（b）}=0．
同理可求得g（a）的取值范围是$（\frac{1-2ln2}{4}，\frac{9-12ln2}{16}）$，则{g（a）}=0或{g（a）}=1．
∴{g（a）}-{g（b）}=0或1．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了方程根个数的判断，体现了数学转化思想方法，考查了计算能力，是压轴题．