Question

8．已知sin（$\frac{π}{2}$+θ）+cos（$\frac{π}{2}$-θ）=-$\frac{1}{5}$，θ∈（0，π），求tanθ

Answer 1

分析 把已知的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简可得-2sinθcosθ的值，加上1，利用同角三角函数间的基本关系化简可得（sinθ-cosθ）²的值，由θ的范围，得到sinθ-cosθ大于0，开方可得得到sinθ-cosθ的值，与sinθ+cosθ的值联立求出sinθ和cosθ的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可求出tanθ的值．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{2}$+θ）+cos（$\frac{π}{2}$-θ）=-$\frac{1}{5}$，
即有cosθ+sinθ=-$\frac{1}{5}$①，
∴（sinθ+cosθ）²=$\frac{1}{25}$，
整理得：sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1+2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，
即-2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$，
∴1-2sinθcosθ=sin²θ-2sinθcosθ+cos²θ=（sinθ-cosθ）²=$\frac{49}{25}$，
由θ∈（0，π），得到sinθ-cosθ＞0，
∴sinθ-cosθ=$\frac{7}{5}$②，
联立①②解得：sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=-$\frac{4}{5}$，
则tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．