Question

3．某批产品中有4件正品和2件次品，现通过逐一检测（每次抽取一件，检测后不放回）的方式将2件次品找出来．
（1）求抽取2次就找出全部次品的概率；
（2）记ξ为找出全部次品时抽取的次数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“抽取2次就找出全部次品”为事件A，其基本事件的总数为：${A}_{6}^{2}$，事件A包括的基本事件总数为${A}_{2}^{2}$，利用古典概率计算公式．
（2）由题意可知：ξ=2，3，4，5，6．由（1）可得P（ξ=2），对于ξ=3，其基本事件的总数为：${A}_{6}^{3}$，所求事件包括的前两次必须是抽取的一件次品一件合格品，第三次抽取的是另一件次品，利用古典概率计算公式P（ξ=3），同理可得：P（ξ=4），P（ξ=5），P（ξ=6），即可得出分布列与数学期望．

解答 解：（1）设“抽取2次就找出全部次品”为事件A，则P（A）=$\frac{{A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．
（2）由题意可知：ξ=2，3，4，5，6．则P（ξ=2）=$\frac{1}{15}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}×{A}_{1}^{1}}{{A}_{6}^{3}}$=$\frac{2}{15}$，P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{1}{A}_{3}^{3}•{A}_{1}^{1}}{{A}_{6}^{4}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=5）=$\frac{{∁}_{4}^{3}{∁}_{2}^{1}{A}_{4}^{4}×{A}_{1}^{1}}{{A}_{6}^{5}}$=$\frac{4}{15}$．
P（ξ=6）=$\frac{{∁}_{4}^{4}{∁}_{2}^{1}{A}_{5}^{5}×{A}_{1}^{1}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{1}{3}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{3}$

∴E（ξ）=$2×\frac{1}{15}$+$3×\frac{2}{15}$+4×$\frac{1}{5}$+5×$\frac{4}{15}$+6×$\frac{1}{3}$=$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．