Question

14．已知三棱锥P-ABC，底面ABC是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O是底面三角形的重心．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求多面体PDOBC的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点M，连接PM、AM、BN、DN，在△PBC中，结合线面垂直的性质可得PM⊥平面ABC，在△ABC中，结合等边三角形以及三角形重心的性质，分析可得DO∥PM，又由于线面垂直的性质可得证明；
（2）根据题意，分析可得V_{多面体PDOBC}=V_B-PDOM+V_C-PDOM，由于PM⊥BC且BC⊥AM，可得BC⊥平面PMA，即可得四棱锥B-PDOM与C-PDOM高，由梯形的面积公式S_梯形DOMP=$\frac{5}{6}$，带入棱锥体积公式计算可得答案．

解答 解：（1）取BC的中点M，连接PM、AM、BN、DN，
∵在△PBC中，PB=PC，M为BC的中点，
∴PM⊥BC，
又∵平面PBC⊥平面ABC，
∴PM⊥平面ABC；
∵△ABC是正三角形，O是底面三角形的重心，
∴O在直线AM与直线BN的交点，且AO=2MO，
又∵D为AP上一点，AD=2DP，
∴DO∥PM，
又∵PM⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，
∴DO⊥AC，
又∵BN⊥AC，且DO与BN都在平面BND中，且交与点O，
∴AC⊥BD，
（2）根据题意，分析可得V_{多面体PDOBC}=V_B-PDOM+V_C-PDOM，
∵PM⊥BC，且BC⊥AM，
∴BC⊥平面PMA，
BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，即四棱锥B-PDOM与C-PDOM高均为$\sqrt{3}$，
又由于DO∥PM，即四边形DOMP是梯形，且OM⊥MP，
且其中AM=3，OM=$\frac{1}{3}$AM=1，PM=1，DO=$\frac{2}{3}$PM=$\frac{2}{3}$，
则S_梯形DOMP=$\frac{5}{6}$，
V_{多面体PDOBC}=V_B-PDOM+V_C-PDOM=$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{6}$×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{6}$×$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{18}$．

点评 本题考查多面体的体积计算以及空间线面、面面垂直的性质的运用，求多面体的求体积时一般用分割补型的方法．