Question

10．已知椭圆C；$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线PA，PB的斜率之积为-$\frac{1}{2}$
（1）求椭圆的离心率；
（2）设F（-1，0）为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且$\overrightarrow{MF}$=3$\overrightarrow{FN}$求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用直线PA，PB的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，确定a，b的关系，即可求椭圆的离心率；
（2）求出椭圆的方程，设直线，代入，利用韦达定理及$\overrightarrow{MF}$=3$\overrightarrow{FN}$，即可求直线l的斜率．

解答 解：（1）由题意，A（-a，0），B（a，0），设P（x₀，y₀），则${{y}_{0}}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，
∴k_PA•k_PB=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
直线l的斜率存在，设方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，①x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，②
由于$\overrightarrow{MF}$=3$\overrightarrow{FN}$，则x₁+3x₂=-4，③
由①②③，可得k=±1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，以及向量坐标的运算，考查运算能力，属于中档题．