Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}-1}}$-$\frac{1}{{{a_n}-1}}$=0，n∈N^*．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是等差数列；
（2）设b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$-1，数列{bn}的前n项之和为S_n，求证：S_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）把已知的数列递推式变形，得到${a}_{n+1}=\frac{1}{2-{a}_{n}}$，然后代入$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$即可得到答案；
（2）由（1）中的等差数列求出数列{a_n}的通项公式，代入b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$-1并整理，然后利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和后得答案．

解答 证明：（1）由$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}-1}}$-$\frac{1}{{{a_n}-1}}$=0，得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}-1}}$=$\frac{1}{{{a_n}-1}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}}={a}_{n}-1$，即$1-\frac{1}{{a}_{n+1}}={a}_{n}-1$，∴${a}_{n+1}=\frac{1}{2-{a}_{n}}$．
则$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2-{a}_{n}}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1-{a}_{n}}{{a}_{n}-1}=-1$．
∴数列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是以-1为公差的等差数列；
（2）由数列{$\frac{1}{{{a_n}-1}}$}是以-1为公差的等差数列，且$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}-1}=-2$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}=-2-（n-1）=-（n+1）$，则${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$．
b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$-1=$\frac{\frac{n+1}{n+2}}{\frac{n}{n+1}}-1=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{4}-\frac{1}{2（n+1）}-\frac{1}{2（n+2）}＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．