Question

7．已知数列{a_n}为等差数列，a₂=5，a₄=11，数列{b_n}是等比数列，b₁=1，b₄=64．
（1）分别求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₂=5、a₄=11可得公差，进而可得通项公式；通过b₁=1、b₄=64可得公比，进而可得通项公式；
（2）通过a_n=3n-1、b_n=4^n-1可得T_n、4T_n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式计算可得结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，a₂=5，a₄=11，
∴数列{a_n}的公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{2}}{2}$=$\frac{11-5}{2}$=3，
∴a₁=a₂-d=5-3=2，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1；
∵数列{b_n}是等比数列，b₁=1，b₄=64，
∴数列{b_n}的公比q=$\root{3}{\frac{{b}_{4}}{{b}_{1}}}$=$\root{3}{\frac{64}{1}}$=4，
∴b_n=b₁•q^n-1=4^n-1；
（2）∵a_n=3n-1，b_n=4^n-1，
∴a_nb_n=（3n-1）4^n-1，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=2×1+5×4+8×4²+…+（3n-4）4^n-2+（3n-1）4^n-1，
∴4T_n=2×4+5×4²+…+（3n-4）4^n-1+（3n-1）4ⁿ，
两式相减得：-3T_n=2+3×4+3×4²+…+3×4^n-1-（3n-1）4ⁿ
=2+3（4+4²+…+4^n-1）-（3n-1）4ⁿ
=2+3×$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（3n-1）4ⁿ
=（2-3n）4ⁿ-2，
∴T_n=$\frac{（2-3n）•{4}^{n}-2}{-3}$=n•4ⁿ+$\frac{2}{3}$•（1-4ⁿ）．

点评 本题考查求数列的通项公式，考查错位相减法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．